Введение

Рассмотрим модель страхового аннуитета на примере долгосрочных финансовых обязательств негосударственного пенсионного фонда (НПФ). Финансовая устойчивость НПФ определяется соотношением между суммой пенсионных резервов, включающих пенсионные взносы и полученный инвестиционный доход и суммой обязательств по пенсионным выплатам, определенных как сумма дисконтированных платежей. Для выполнения финансовой устойчивости необходимо превышение суммы резервов над суммой обязательств. Величина обязательств зависит от актуарных предположений, главными из которых являются норма доходности и средняя продолжительность жизни, определенная по таблице дожития. Обе величины могут иметь как случайную составляющую, так и трендовую. При расчете обязательств случайными величинами пренебрегают. В данной статье рассматривается степень влияния случайных колебаний нормы доходности на величину обязательств. Рассчитана плотность вероятности не обнуления ренты при наличии флуктуаций нормы доходности, подчиненных нормальному закону распределения. Предложенный метод можно применять для оценки дисперсии отклонения пенсионных резервов от обязательств и для определения необходимой величины резервов в случае краткосрочных финансовых операций. Для продолжительных финансовых операций анализируется метод моделирования финансовых потоков при локальных изменениях нормы доходности. Показано, что линии уровней финансовых потоков, построенных для двумерных сеточных функций уравнений баланса, напоминают линии тока, образующиеся при обтекании тел, находящихся в потоке жидкости.

Модель детерминированной ренты

 Простейшим уравнением, описывающим непрерывную ренту, является уравнение вида
 
 

где S - размер суммы,

r - норма доходности;

p- размер выплат.

Учитывая дискретный характер платежей, на практике удобнее пользоваться следующим уравнением :

где S_n+1, S_n - сумма в моменты времени n+1 и n.
Решение данного уравнения можно представить в виде:

Значение константы можно определить из граничных условий установив, например, период ренты равный m. Тогда:

Начальная сумма определяется из условия n=0
и определяет современную стоимость ренты периода m.

Данное выражение можно легко получить, используя формулу суммы геометрической прогрессии. Рассмотрим более сложный случай, достаточно часто встречающийся на практике. Предположим, что норма доходности - это превышение процентной ставки над инфляцией, а выплаты также индексируются по инфляции. В таком случае, в предположении постоянства уровня инфляции ( i ) и нормы доходности ( r ) рассмотренное выше уравнение преобразуется к виду

Решение представляется в виде:


Значение константы определяется аналогично рассмотренному выше случаю

Начальная сумма равна
 
Рассмотрим, как меняется начальная сумма в двух случаях при различных значениях нормы доходности и инфляции. Обозначим через

Результаты расчетов для m=15 приведены в таблице 1.

Видно, что с ростом уровня инфляции начальная сумма в случае индексации по инфляции уменьшается. Это связано с увеличением номинальной процентной ставки. На рис. 1 приведено поле начальной суммы в зависимости от уровня инфляции и доходности для числа единичных выплат равного 15.

Изолинии представляют почти прямые линии, поскольку абсолютные значения аргументов невелики и влияние нелинейности сказывается слабо.

Для переменной нормы доходности и инфляции аналитическое решение в общем случае получить не удается. Решение представляется в виде суммы, если задан закон изменения нормы доходности и инфляции. В случае, когда значение нормы доходности не изменяется сильно, тренд отсутствует, а колебания существуют, в качестве примера можно рассмотреть стохастическую модель, введя малые изменения доходности и инфляции.
 
 

Модель недетерминированной ренты

 Введем флуктуации нормы доходности и инфляции в рассмотренное выше уравнение :

Где r' и i' - случайные величины, распределенные по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием. Рассчитаем плотность вероятности не обнуления ренты, рассмотрев

все возможные исходы, соответствующие выбранному разбиению доверительного интервала, длиной 3,8 сигма. Для простоты в расчетах принималось, i=0, i'=0, p=1, что соответствует единичной ренте при нулевом уровне инфляции. Данный способ не позволяет рассчитать много временных шагов. Учитывая, что число машинных операций пропорционально количеству отрезков разбиения в степени n, где n- число временных шагов, ограничим n=5, при 20-ти отрезках разбиения доверительного интервала.

На рис.2 приведена плотность распределения вероятностей не обнуления ренты для двух случаев s (r')=1, s(r')=2, при r=10% годовых. Видно, что при увеличении флуктуации математическое ожидание не обнуления ренты смещается в отрицательную сторону. Предложенный метод может быть использован для качественного исследования стохастической модели. Для получения количественных оценок среднеквадратичного отклонения от числа шагов и абсолютной величины флуктуаций необходимо пользоваться методами типа Монте-Карло, или использовать другие приемы для описания исследуемых стохастических моделей. 

Рис. 2

Для моделирования воздействий локальных возмущений нормы доходности на финансовый поток построим поле взносов для двумерной сеточной функции. Каждая точка данной функции рассчитывается по упрощенному уравнению баланса, в котором сравниваются приведенные стоимости выплати взносов. При переменной норме доходности зависимость величины разового взноса (V_o) от выплаты (p) в данном случае имеет следующий вид:
где Vo- величина разового взноса;
n-период накопления;
m - период выплат;
r (t) - функция нормы доходности от времени;
p- размер выплаты.

На рис. 3 приведено поле разового взноса, величина которого надписана на изолиниях, в зависимости от периода накопления - вертикальная ось и периода выплат – горизонтальная ось. Норма доходности r(t) принималась постоянной и равной 10% годовых. Размер выплат единичный - p=1. Физический смысл значений на изолиниях – это современная стоимость предстоящих платежей или обязательства. Читать диаграммы нужно следующим образом. Разовый взнос размером 60 без накопительного периода обеспечит ежемесячную единичную ренту в течение 7 лет. Тот же взнос при периоде накопления 5 лет обеспечит ежемесячную единичную ренту в течение 15 лет и т. д. Изолинии носят асимптотический характер. Для продолжительного периода выплат малые изменения в периоде накопления приводят к сильному увеличению периода выплат. Например, увеличение периода накопления для разового взноса 60 с 5 до 7.5 лет приводит к увеличению периода выплат более чем в два раза – с 15 до 35 лет соответственно. Это связано с тем, что при увеличении периода выплат увеличивается величина взноса, а соответственно и инвестиционного дохода, величина которого на большом периоде времени становится сравнимой с величиной выплат. Однако реально, на продолжительном временном интервале всегда существуют колебания, как доходности, так и размера выплат. Поэтомуна практике всегда наблюдается отклонение реальной суммы резервов от расчетной.

Рис. 3

Временные интервалы в приведенном примере характерны для долгосрочных задач пенсионного обеспечения. Однако, данный метод анализа так же применим для моделирования краткосрочных финансовых операций.

На рис.4 приведено аналогичное, представленному на рис. 3 поле, в которое вносится возмущение в виде полосы с отрицательной доходностью величиной минус 10% годовых. Ширина полосы 5 лет. В остальной области норма доходности как и в предыдущем случае, равна 10% годовых. В данном случае моделируется кризис, который наступает через 20 лет и продолжается в течение 5-ти лет. В течение кризиса норма доходности принимается отрицательной. т.е. происходит частичная потеря активов. В нашем случае – это практически половина активов.

Дополнительное условие для нормы доходности имеет вид

r(T)=10 для ( T < T₁+T₂=20 и T  T₁+T₂=25 ),

r(T)=-10 для ( T₁+T₂=20  T < T₁+T₂=25 ),

где T₁ – период накопления;

T₂ – период выплат.

 
Рис. 4

Из рис. 4 видно, что после преодоления кризиса стоимость обязательств существенно возрастает. Если в первом случае разовый взнос 40 при периоде накопления приблизительно 10 лет обеспечивал выплаты в течение 20 лет, то при наличии сравнительно короткого отрезка отрицательной доходности для аналогичных периодов накопления и выплат взнос существенно возрастает и становится равным 55. По физической аналогии данную задачу можно назвать задачей преломления финансового потока.

На рис. 5 так же изображено возмущенное поле разового взноса. В отличие от рис. 4 полоса возмущения заменена областью локального возмущения. Данная задача называется – задачей обтекания финансовым потоком локального возмущения. Данная постановка моделирует инвестиционный кризис для отдельной возрастной группы участников, что вполне естественно, так как в зарубежной практике НПФ применяется различная инвестиционная стратегия в зависимости от возраста участников фонда. Чем ближе к пенсии, тем более консервативны инвестиции. Рассмотрим случай, когда пенсионные резервы определенной возрастной группы, состоящей из участников, которым остается до пенсии 8-12 лет, инвестируются на длительный срок в отдельный инвестиционный проект. Допустим, что данный проект обеспечивал первоначальные условия по доходности 10% годовых в течение 20 лет. Затем, по истечении 20-ти летнего периода наступает кризис, продолжающийся в течение 5-ти лет. В период кризиса доходность инвестиций отрицательная и равна –10% . По истечении кризиса доходность инвестиций восстанавливается на прежнем уровне 10% годовых.

Дополнительное условие для нормы доходности имеет вид

r(T)=10 для ( T < T₁+T₂=20 и T  T₁+T₂=25 ),

r(T)= -10 для ( T₁+T₂=20  T < T₁+T₂=25 8 Т₁12),

где T₁ – период накопления;

T₂ – период выплат.

На рис. 5 представлено как изменится величина обязательств по пенсионным выплатам для выбранной возрастной группы при наличии 5-ти лет кризиса в течение периода выплат. Видно, что полоса возмущения распространяется только в зоне, ограниченной 8-12 годами периода накопления и находится за областью возмущения. Визуально область возмущенной доходности напоминает тело, находящееся в потоке жидкости, а линии уровня финансового потока – уровни течения жидкости. Поэтому данную задачу можно назвать - задачей обтекания финансовым потоком локального возмущения. 

  Рис. 5

Данный метод анализа очень нагляден и помимо качественной картины позволяет получить количественные результаты. Кроме того, подобный подход имеет интересные гидродинамические аналогии. Предложенный метод может эффективно использоваться в задачах ситуационного моделирования, так как позволяет выявить области финансовой неустойчивости и проанализировать причины их возникновения.   
  
Помазкин Д.В. НПФ "Регионфонд" 
  
 Модель страхового аннуитета на базе ренты с недетерминированной нормой доходности

Рассматривается модель страхового аннуитета на примере долгосрочных финансовых обязательств негосударственного пенсионного фонда (НПФ), для анализа финансовой устойчивости, определенной как соотношение между суммой пенсионных резервов, включающих пенсионные взносы и полученный инвестиционный доход и суммой обязательств по пенсионным выплатам. Анализируется степень влияния случайных колебаний нормы доходности на величину обязательств. Рассчитана плотность вероятности не обнуления ренты при наличии флуктуаций нормы доходности, подчиненных нормальному закону распределения. Предложенный метод можно применять для оценки дисперсии отклонения пенсионных резервов от обязательств и для определения необходимой величины резервов в случае краткосрочных финансовых операций. Для продолжительных финансовых операций приводится метод моделирования финансовых потоков при локальных изменениях нормы доходности. Показано, что линии уровней финансовых потоков, построенных для двумерных сеточных функций уравнений баланса, напоминают линии тока, образующиеся при обтекании тел, находящихся в потоке жидкости. Данный метод анализа очень эффективен поскольку, помимо качественной картины представляет количественные результаты и может использоваться в задачах ситуационного моделирования, так как позволяет выявить области финансовой неустойчивостии проанализировать причины их возникновения.